El Equivalente mecánico del calor

A comienzos del siglo XIX la gente estaba interesada en mejorar la eficiencia de las máquinas de vapor y de los cañones. Un hecho evidente era que después de algunos disparos los cañones se recalentaban hasta tal punto que se volvían inservibles. Esto llevó a la observación que debía existir una conexión entre las fuerzas mecánicas y químicas involucradas en el disparo y el "calórico" como se llamaba el calor en esa época.

Fue Joule quie estableció la relación precisa entre energía mecánica y calor.

El calor es transferencia de energía debido a diferencias de temperatura. En este contexto se introduce la caloría:

Una caloría es el calor que se necesita transferir a un gramo de agua, para cambiar su temperatura de 14.5 a 15.5 grados Celsius

Se tiene además: 1Cal=1000 cal.

Joule utilizando una rueda con paletas conectada a un conjunto de poleas con pesos en sus extremos pudo mostrar una relación precisa entre la energía mecánica de los pesos en las poleas y el aumento de temperatura del agua en el recipiente, debido a la rotación de las paletas. Esto da:

1 cal= 4.186 J

Capacidad calorífica y Calor específico

La capacidad calorífica de una muestra se define como la cantidad de energía necesaria para aumentar la temperatura de esa muestra en $1 ^0C$

Por lo tanto si una cantidad de calor Q produce un cambio $\Delta T$ en la temperatura de una sustancia se tiene:

$$Q=C\Delta T$$

El calor específico es la capacidad calorífica por unidad de masa

$$c=\frac{Q}{m\Delta T}$$

NOTA: En general c(T), por lo tanto:

$$Q=m\int _{T_i}^{T_f}c(T) dT$$

CONVENCION: Q es positivo si fluye calor hacia el sistema. Q es negativo si el sistema cede calor.

El calor especíco depende de las condiciones externas. Para gases el calor específico a presión constante ($c_P$) es diferente del calor específico a volumen constante ($c_V$) . Para líquidos y sólidos no hay gran diderencia entre los dos.

Calorimetría

Una técnica para medir el calor específico de una sustancia X consiste en calentar una muestra hasta una temperatura conocida $T_x$, colocarla en un recipiente con agua de masa conocida $m_a$ y temperatura menor $T_a < T_x$, medir la temperatura del sistema después de alcanzado el equilibrio.

Como el trabajo realizado es despreciable, la conservación de la energía implica:

$$Q_x=-Q_a$$

Note que la convención de los signos implica el signo - en el lado derecho de esta ecuación (El agua absorbe calor).

Sea $m_x$ la masa de la sustancia X.

Se tiene:

$$m_x c_x(T_f-T_x)=-m_a c_a(T_f-T_a)$$

Esto es:

$$c_x=\frac{m_a c_a(T_f-T_a)}{m_x (T_x-T_f)}$$

Calor Latente

Cuando hay transferencia de calor sin cambio de temperatura(como en una transición de fase) se habla de calor latente L.

La cantidad de calor Q necesaria para cambiar la fase de una masa m de una sustancia pura es:

$$Q=mL$$

Calor latente de fusión $L_f$: Cambio de fase de sólido a líquido.

Calor latente de vaporización $L_v$: Cambio de fase de líquido a gas.

Trabajo y Calor

Consideremos un gas contenido en un recipiente cilíndrico de área transversal A, con un émbolo. Al expandirse el gas hace un trabajo sobre el émbolo dado por

$$dW=Fdy=PA dy$$

Esto es:

$$dW=PdV$$

Si el gas se expande desde un volumen $V_i$ a un volumen $V_f$ cuasi-estáticamente: es decir tan lentamente que cada estado intermedio puede considerarse un estado de equilibrio, se tiene:

$$W=\int_{V_i}^{V_f} P dV$$

Esto representa el área bajo la curva P(V) en un diagrama P-V.

CONVENCION: $W>0$: Trabajo hecho por el sistema;

$W<0$ trabajo hecho sobre el sistema.

El trabajo depende de los estados intermedios para llegar de $i->f$ y no sólo de i y f.

Ver figura:

La Primera Ley de la Termodinámica

Si la cantidad Q-W se mide para diferentes trayectorias que conectan los estados de equilibrio i y f, se encuentra un único resultado. Por lo tanto esta cantidad está determinada por completo por i y f. Si U representa la energía interna, se tiene:

$$\Delta U=Q-W$$

Esta es la Primera Ley de la Termodinámica. Expresa la conservación de la energía incluyendo a procesos que involucran la transferencia de calor.

Si se trata de un cambio de estado infinitesimal, se tiene que:

$$dU=dQ-dW$$

Nota que sólo dU es un verdadero infinitesimal, puesto que dQ y dW dependen de la trayectoria.

Aplicaciones

Proceso adiabático: Q=0

Proceso isobárico: P=constante.

Proceso isovolumétrico: V=constante.

Proceso Isotérmico: T=constante.

Expansión isotérmica de un gas ideal

El trabajo realizado al expandirse de $V_i$ a $V_f$ es:

$$W=nRT\int_{V_i}^{V_f} \frac{dV}{V}$$

Esto es:

$$W=nRTln(\frac{V_f}{V_i})$$

Mecanismos de Transferencia de Energía

Conducción térmica

Si los dos extremos de un material de área transversal A separados por una distancia dx se encuentran a diferente temperatura, habrá un flujo de calor $dQ$ durante un instante $dt$, desde el lado más caliente al más frío, dado por:

$${\cal P}=\frac{ dQ}{dt}=kA\vert\frac{dT}{dx}\vert$$

La rapidez de transferencia de energía P se mide en watts. k es la conductividad térmica del material y $\vert\frac{dT}{dx}\vert$ es el gradiente de temperatura.

Ej: Para una barra uniforme de largo L, aislada en el manto se tiene que:

$${\cal P}=kA\frac{(T_2-T_1)}{L}>0$$

Ej: Para una placa compuesta por varios materiales de espesor $L_i$, se tiene:

$${\cal P}=A\frac{(T_2-T_1)}{\sum L_i/k_i}$$

Aislamiento de casas

En aplicaciones de Ingeniería se introduce el valor R de un material:

$$R=L/k$$

Convección

Es calor transferido por corrientes de material.

Radiación

Calor radiado por un objeto por unidad de tiempo:

Ley de Stefan:

$${\cal P}=\sigma A e T^4$$

A es la superficie del objeto, $\sigma=5.6696\times 10^{-8} W/m^2 K^4$, es la constante de Stefan-Boltzmann, e es la constante de emisividad y T es la temperatura absoluta.

La emisividad es la fracción de la energía entrante que la superficie absorbe. e varía entre 0 y 1.

Cuando un cuerpo está en equilibrio con su entorno, su temperatura no cambia y emite tanta energía como la que absorbe.

En una noche nublada, la superficie de la Tierra pierde menos energía por radiación que en una noche clara. Por eso las noches claras son más frías.

El frasco Dewar

Así funcionan los termos. Está hecho de un recipiente con doble pared de vidrio con paredes plateadas. Entre las dos paredes de vidrio se hace vacío para minimizar la pérdida de energía por convección. Las paredes plateades evitan la pérdida por radiación, debido a que la Plata es un buen reflector y tiene baja emisividad.