FIS1532 Clase 15

Corriente Eléctrica

Considere un sistema de cargas en movimiento. Si a través de alguna región existe un flujo de carga neto, se dice que existe una corriente:

$\begin{displaymath}I=\frac{dQ}{dt}\end{displaymath}$

La unidad de corriente en MKS es:

$\begin{displaymath}1A=\frac{1C}{1s}\end{displaymath}$

Modelo Microscópico de la corriente

En un metal, considere la corriente en un conductor de área transversal A. El volumen de una sección de conductor $\Delta x$ es $A \Delta x$ . Si n es el número de portadores de carga por unidad de volumen, la carga total en este elemento de volumen es

$\begin{displaymath}\Delta Q=nAq\Delta x\end{displaymath}$

siendo la carga de cada portador. Si los portadores de carga tienen una velocidad promedio , entonces se tiene que la carga que cruza la superficie A en un tiempo $\Delta t$ es:

$\begin{displaymath}\Delta Q=nAv_d\Delta t\end{displaymath}$

Con lo que se obtiene la corriente:

$\begin{displaymath}I=nAv_d\end{displaymath}$

Definimos la densidad de corriente por:

$\begin{displaymath}\int _S \vec{J}.\hat n dS=I\end{displaymath}$

Con lo que se obtiene para un metal:

$\begin{displaymath}J= nqv_d\end{displaymath}$

Rapidez de arrastre en un alambre de Cu

El alambre de Cobre en una casa tiene una área de sección transversal de $3.31\times 10^{-6} m^2$ . Si conduce una corriente de 10A,Cuál es la rapidez de arrastre de los electrones? Sol: Masa molar del Cu=63.5 gr/mol.Un mol contiene $N_0=6.02\times 10^23$ átomos.

$\begin{displaymath}V_m=\frac{m}{\rho}=\frac{63.5g}{8.95g/cm^3}=7.09 cm^3\end{displaymath}$

Como cada átomo de Cu aporta un electrón libre a la corriente:

$\begin{displaymath}n=8.49\times 10^{28} electrones/m^3\end{displaymath}$

Por lo tanto

$\begin{displaymath}v_d=2.22\times 10^{-4}m/s\end{displaymath}$

Ejercicio:

Si por un alambre de Cu pasa una corriente de 80 mA Cuántos electrones pasan por una sección transversal del alambre en 10 minutos?

R: $3\times 10^{20} electrones$ .

Resistencia y Ley de Ohm

Se define la resistencia de un material por la siguiente relación:

$\begin{displaymath}R=\frac{V}{I}\end{displaymath}$

si al aplicarse una diferencia de potencial entre los extremos del conductor, se encuentra que fluye una corriente a través de él. La unidad de resitencia eléctrica es:

$\begin{displaymath}1\Omega(Ohm)=\frac{1V}{1A}\end{displaymath}$

En algunos materiales se encuentra que el gráfico V versus I es una línea recta. Esto es R es independiente del voltaje aplicado V. Estos materiales se llaman óhmnicos, pues obedecen la Ley de Ohm:

$\begin{displaymath}V=I R\end{displaymath}$

con R constante, independiente de V.

A nivel microscópico la Ley de Ohm es:

$\begin{displaymath}\vec{J}=\sigma\vec{E}\end{displaymath}$

$\sigma$ es la conductividad del material.

Resistencia y geometría

Consideremos un conductor uniforme de largo l y sección transversal de área A. Se tiene que: e con lo cual:

$\begin{displaymath}R=\rho\frac{l}{A}\end{displaymath}$

Se definió $\rho=\sigma^{-1}$ como la resistividad del material.Las unidades de la resistividad son $\Omega.m$

Ejercicio 2

Encuentre la resistencia de un cilindro de 10cm de largo y un área transversal de $2x10^{-4}m^2$ , para:

a) Aluminio

b) Vidrio

R: a) $1.41\times 10^{-5} \Omega$ b) $1.5 \times 10^{13}\Omega$

Ejercicio 3

Un cable coaxial consta de dos conductores cilíndricos concéntricos de radios y longitud L. El espacio entre los conductores se llena de Silicio. Encuentre la resistencia para flujo de carga en la dirección radial, si a=.5cm, b=1.75cm L=15cm.

$\begin{displaymath}dR=\rho\frac{dr}{2\pi r L}\end{displaymath}$

Integrando se obtiene:

$\begin{displaymath}R=\frac{\rho}{2\pi L} ln(\frac{b}{a})\end{displaymath}$

,lo que da:

$\begin{displaymath}R=851\Omega\end{displaymath}$

Si se aplica una diferencia de voltaje V=12V entre el cilindro interior y exterior, se tiene que I=14.1 mA.

Un modelo para la conducción eléctrica

Se consideran los electrones en un metal como un gas libre, entre choques con los iones que conforman la red. Al aplicar un campo eléctrico se produce una aceleración que modifica la velocidad de los electrones:

$\begin{displaymath}v=v_i+\frac{eEt}{m}\end{displaymath}$

promediando sobre todos los posibles (lo que da 0 porque están distribuidos al azar). se tiene que:

$\begin{displaymath}v=v_d=\frac{eE\tau}{m}\end{displaymath}$

donde $\tau$ es el tiempo promedio entre dos choques sucesivos.

Se sigue que:

$\begin{displaymath}\rho=\frac{m}{nq^2\tau}\end{displaymath}$

La trayectoria libre media es:

$\begin{displaymath}l=\tau \bar v\end{displaymath}$

donde $\bar v$ es la velocidad promedio de los electrones.

Choque de electrones en un alambre

Calcule el tiempo promedio entre choques en un alambre de cobre:

R: $2.5\times10^{-14}s$

Si $\bar v=1.6\times 10^6m/s$ , calcule la trayectoria libre media de los electrones.

R: $4\times 10^{-8}m$ .

Resistencia y Temperatura

En un intervalo pequeño de temperatura, la resistividad de un metal varía como:

$\begin{displaymath}\rho=\rho_0[1+\alpha(T-T_0)]\end{displaymath}$

Por lo tanto:

$\begin{displaymath}R=R_0[1+\alpha(T-T_0)]\end{displaymath}$

Ejemplo: Un termómetro de resistencia

Un termómetro de resistencia está hecho de platino y tiene una resistencia de 50 $\Omega$ a 20. Si se sumerge en un recipiente conteniendo indio fundido la resistencia aumenta a 76.8 $\Omega$ . Encuentre el punto de fusión del indio.

Sol:Se tiene:

$\begin{displaymath}T=T_0+\frac{\frac{R}{R_0}-1}{\alpha}=157 ^0C\end{displaymath}$

Superconductores

En algunos materiales la resistencia se hace cero al bajar la temperatura por debajo de una temperatura crítica . (H.K. Onnes 1911). Esto ha permitido construir electroimanes que producen un campo magnético 10 veces más intenso que con materiales normales.

Una corriente puede durar un tiempo indefinido en estos materiales (no hay resistencia).

Potencia

Consideremos un conductor por el que pasa una corriente I al ser conectada a una batería con diferencia de potencial V. En un tiempo $\delta t$ el trabajo hecho por la batería para mover un elemento de carga a través del conductor es , con lo cual el trabajo por unidad de tiempo P(potencia está dado por:

$\begin{displaymath}P=I V\end{displaymath}$

Dado que en el conductor con resistencia R se tiene que :

$\begin{displaymath}P=I^2R=\frac{V^2}{R}\end{displaymath}$

Esta es potencia perdida en energía interna en el conductor. Se llama calentamiento de Joule.

Un calefactor eléctrico

Un calefactor eléctrico consta de un alambre de nicromo con resistencia total de 8 $\Omega$ al que se aplica una diferencia de potencial de 12o V. Encuentre la corriente que circula por el alambre y la potencia del calefactor.

R: I=15A;P=1.8 kW