FIS1532 Clase 6
Fecha:26/03/2001
Ejercicio 1: Una línea de longitud L está uniformemente cargada con una carga total Q. Encontrar el potencial electrostático en un punto P, situado a una distancia h del punto medio de la línea.
Ejercicio 2: Una partícula alfa con energía cinética 1.7x10^{-12} J es lanzada ,desde muy lejos , sobre un n'ucleo de Platino. Encontrar la distancia m'inima de aproximación al núcleo. Q(alfa)=2e,Q(platino)=78e. Trate las dos partículas como distribuciones esféricas de carga y desprecie el retroceso del núcleo.
Sol: La energía mecánica de la partícula alfa cuando está muy lejos del núcleo de aluminio es puramente cinética:
En
el punto de máxima cercanía la energía mecánica
de la partícula alfa es puramente potencial:
Pero
la energía mecánica se conserva:
Lo
que da la respuesta para d:
Ejercicio 3: Dentro de una cavidad vacía, cerrada, rodeada por un conductor uniforme, el campo eléctrico es cero.
Se
tiene que:
Supongamos
que el campo eléctrico no es cero a lo largo de una línea
al interior de la cavidad. Formemos una curva cerrada como en la
figura, agregando un trozo de curva completamente sumergido en el
conductor. Se obtiene que la circulación de E a lo largo de
esta curva no es cero, lo cual contradice el resultado general de más
arriba. Por lo tanto E debe ser cero al interior de la cavidad.
Potencial debido a una carga puntual
Calculemos la integral de camino a lo largo de una trayectoria radial (no depende del camino). Se obtiene
\Phi(\vec x)=q/(4\pi\epsilon_0 |x|)
Potencial debido a un grupo de cargas puntuales
Usando el principio de superposición se obtiene:
\sum_i q_i/(4\pi\epsilon_0 |x-x_i|)
Para un continuo de cargas:
\Phi(\vec x)=\int d^3x'\rho(x')/(4\pi\epsilon_0 |x-x'|)
Potencial debido a un dipolo
Cargas puntuales q( en a\hat a),-q( en -a\hat a). Momento
dipolar eléctrico=2aq\hat a
Se obtiene, guardando
sólo primer orden en a: \Phi(\vec x)=\vec p .\vec
x/(4\pi\epsilon_0 |x|^3)
Potencial debido a un disco uniformemente cargado, sobre su eje
Usando coordenadas polares se tiene: \Phi(z)=\int_0^a dr 2\pi r \sigma/(4\pi\epsilon_0 \sqrt(r^2+z^2)=\sigma\sqrt(a^2+z^2/(2\pi\epsilon_0)- \sigma\sqrt(z^2/(2\pi\epsilon_0)
\sigma=q/(\pi a^2)
Energía Potencial Electrostática
Energía de dos cargas q_1,q_2 en x_1 y x_2=trabajo necesario para traer 2 a su posición actual en contra del campo de x_1(La situación es simétrica)=q_2 \Phi_1(x_2)
Si agrego q_3, además de la energía anterior debo sumar q_3\Phi_{1,2}(x_3)=trabajo necesario para traer 3 desde infinito a su posición actual en contra del campo debido a 1,2.
Para N cargas se tiene U=\frac{1}{2}\sum_{i\neq j) q_i q_j/(|x_i-x_j|) (NOTAR el factor 1/2 para no contar doble)
Para un continuo se tiene que U=\frac{1}{2}\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int d^3x d^3x' \rho(x) \rho(x')/|x-x'|