Facultad de Física, P. Universidad Católica de Chile FIZ–2520: Métodos Matemáticos de la Física II Curso: R. Benguria, Semestre Primavera 2001 Tarea # 7 Fecha de Entrega: Jueves 17 de mayo, 2001.

38. Verifique que para m ≥ 0,

P_{n}^{m} ≡ (1 − z^{2})^{m/2} \frac{d^{m}}{dz^{m}} P_{n}(z),

satisface la ecuación asociada de Legendre. 39 Para −n ≤ m ≤ n las funciones asociadas de Legendre están definidas por medio de la formula de Rodrigues,

P_{n}^{m}(x) = \frac{1}{2^{n}n!}(1 − x^{2})^{m/2} \frac{d^{n+m}}{dx^{n+m}} (x^{2} − 1)^{n}. (1)

a) Demuestre que los P_{n}^{m} así definidos satisfacen la ecuación asociada de Legendre.

b) Demuestre que

P_{n}^{−m}(x) = (−1)^{m} \frac{(n − m)!}{(n + m)!}P_{n}^{m}(x).

c) Demuestre que ls función generatriz de las funciones asociadas de Legendre es

\frac{(2m)!(1 − x^{2})^{m/2}}{2^{m}m!(1 − 2tx + t^{2})^{m+1/2}} = ∑_{s=0}^{∞} P_{s+m}^{m}(x)t^{s}.

y a partir de ella, encuentre algunas relaciones de recurrencia para las funciones asociadas de Legendre.

d) Paridad: demuestre que

P_{n}^{m}(−x) = (−1)^{n+m}P_{n}^{+m}(x).

e) A partir de la formula de Rodrigues o de la función generatriz, encuentre la normalización de las funciones asociadas de Legendre discutida en clase.

f) Encuentre P_{n}^{n}(cos θ).

40. Encuentre la solución de la ecuación de Laplace en el hemisferio 0 ≤ r < a, 0 < θ < π/2, que satisface las condiciones de borde u(r, π/2) = 0, para 0 < r < a y u(a, θ) = 1 para 0 < θ < π/2.

41. Encuentre la solución de la ecuación de Laplace fuera de la esfera de radio a, y que satisface la condición de borde u(a, θ, φ) = senθ cos φ + sen^{2}θsen2φ.

42.Teorema de Adición de los Esféricos Armónicos Sean (θ_{1}, φ_{1}) y (θ_{2}, φ_{2}) las coordenadas de dos puntos sobre S^{2}. Sea γ el ángulo que forman los vectores que van desde el centro de la esfera a estos dos puntos, i.e.,

cos γ = cos θ_{1} cos θ_{2} + senθ_{1}senθ_{2} cos(φ_{1} − φ_{2}).

Demuestre que

P_{n}(cos γ) = \frac{4π}{2n + 1} ∑_{m=−n}^{m=n}(−1)^{m}Y_{n}^{m}(θ_{1}, φ_{1})Y_{n}^{−m}(θ_{2}, φ_{2}).

\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}Rafael Benguria D., 2001