Facultad de Física, P. Universidad Católica de Chile FIZ–2510: Métodos Matemáticos de la Física I Curso: R. Benguria, Semestre Primavera 2000 Tarea # 10 Fecha de Entrega: Jueves 2 de Noviembre, 2000

Problema 47:

Encuentre

a) VP ∫_{−∞}^{∞} \frac{2x}{1+x+x^{2}} dx.

b) VP ∫_{−∞}^{∞} \frac{x^{3}}{(1+x^{2})(2+2x+x^{2})} dx.

c) VP \frac{1}{2πi} ∫_{−∞}^{∞} \frac{e^{itx}}{x} dx, en los casos t > 0, t = 0 y t < 0.

Problema 48:

Encuentre el número de ceros de

a) f_{1}(z) = 3e^{z} − z en |z| ≤ 1.

b) f_{2}(z) = \frac{1}{3}e^{z} − z en |z| ≤ 1.

c) f_{3}(z) = z^{4} − 5z + 1 en 1 ≤ |z| ≤ 2.

d) f_{4}(z) = z^{6} − 5z^{4} + 3z^{2} − 1 en |z| ≤ 1.

Problema 49:

Muestre que las transformaciones bilineales forman un grupo bajo composición de trnsformaciones.

Problema 50: Encuentre la imagen del círculo |z| = 1 bajo los mapas:

a) ω = \frac{1}{z},

b) ω = \frac{1}{z−1},

c) ω = \frac{1}{z−2},

Problema 51:

Indique donde son conformes los mapas siguientes:

a) ω = e^{z},

b) ω = cos z,

c) ω = 1/z,

d) ω = z^{2} − z.