Facultad de Física, P. Universidad Católica de Chile FIZ–2510: Métodos Matemáticos de la Física I Curso: R. Benguria, Semestre Primavera 2000 Tarea # 2 Fecha de Entrega: Jueves 31 de Agosto, 2000.

Problema 6:

a) Demuestre que f(z) = x^{2} + i y^{2} es diferenciable en todos los puntos de la recta y = x. Demuestre además que f(z) no es analítica en ninguna parte.

b) Suponga que f es analítica y es de la forma f(x, y) = u(x)+i v(y). Muestre que f(z) es un polinomio lineal.

Problema 7:

a) Encuentre todas las soluciones de

e^{z} = 1,  e^{z} = −3,  e^{z} = i,  e^{z} = 1 + i.

b) Encuentre todas las soluciones de

sen z = 2.

Problema 8:

Determine cual de las siguientes funciones es armónica. En el caso que la función sea armónica determine todas las funciones armónicas cuya parte real es la función dada.

a) x^{2} − y^{2} + y,

b) x^{3} − y^{3},

c) 3x^{2}y − y^{3} + xy,

d) x^{4} − 6x^{2}y^{2} + y^{4} + x^{3}y − xy^{3}, e) e^{x^{2}−y^{2}}sen(2xy),

f) xe^{x} cos y − ye^{x}sen y.

Problema 9:

a) Encuentre las partes real e imaginaria de

cosh(πi),  e^{i},  sen(πi),  senh(1 + i).

b) Encuentre | cos z|^{2}, |sen z|^{2}.

c) Encuentre todos los ceros y todos los períodos de las funciones

cos z,  senh z,  cosh z,  tan z,  tanh z.

Problema 10: Sea ω_{k} = e^{2πik/n}, k = 1, 2, …, n. Si m es entero demuestre que

ω_{1}^{m} + ω_{2}^{m} + … ω_{n}^{m} = 0,

a menos que m sea un múltiplo de n, en cuyo caso la suma es n.

Referencias:

1. Norman Levinson y Raymond M. Redheffer, Complex Variables, Holden Day, Inc., San Francisco, 1970; Capítulo 2. (Disponible en Biblioteca de Matemáticas: 515.93, L655c).