Facultad de Física, P. Universidad Católica de Chile FIZ–2510: Métodos Matemáticos de la Física I Curso: R. Benguria, Semestre Primavera 2000 Tarea # 3 Fecha de Entrega: Jueves 7 de Septiembre, 2000

Problema 11:

a) Demuestre que

ℜ [(1 + i)^{Log(1+i)}] = 2^{(1/4)Log2} exp(−π^{2}/16) cos(\frac{1}{4}πLog2).

b) Encuentre todos los valores de arcsen(i).

Problema 12: Haga un bosquejo de la imagen del círculo w = e^{2it} − 1, 0 ≤ t < 2π bajo la acción de la función z = w^{2} en la superficie de Riemann. Imagine que Ud. está mirando la superficie de Riemann desde arriba y utilice líneas punteadas para mostrar la imagen en la hoja inferior y líneas llenas en la hoja superior.

Problema 13: Describa las regiones fundamentales y las superficies de Riemann paralas funciones w = z, w = z^{2}, w = z^{1/4}, w = z^{3/2}, w = log(1 − z), w^{2} = log z.

Problema 14: Curvas de Nivel. Sea f(z) = u(x, y) + iv(x, y) una función analítica. Demuestre que las curvas u(x, y) = c y v(x, y) = k son ortogonales entre sí (es decir en los puntos en que dichas curvas se cortan, las respectivas tangentes en el punto de intersección son ortogonales). Luego encuentre las curvas u = constante y v = constante para la función

f(z) = \frac{z + 4}{z − 4}

y compruebe que constituyen familias de círculos ortogonales.

Problema 15:

Encuentre el valor de las intregrales: a)

∫_{1}^{i}(z − 1) dz

sobre la línea recta que va de 1 a i, b)

∫_{0}^{1+i}(z − 1) dz

sobre la parábola y = x^{2}. c)

∫_{C}(z^{2} + 1) dz

sobre el perímetro del cuadrado con vértices z = 0, z = 1, z = (1 + i), z = i, recorrido en ese orden.

Referencias:

1. Louis L. Pennisi, Elements of Complex Variables, Holt, Rinehart and Winston, NY, 1963, Capítulos 3 y 4.

2. Norman Levinson y Raymond M. Redheffer, Complex Variables, Holden Day, Inc., San Francisco, 1970; Capítulo 2. (Disponible en Biblioteca de Matemáticas: 515.93, L655c).