Facultad de Física, P. Universidad Católica de Chile FIZ–2510: Métodos Matemáticos de la Física I Curso: R. Benguria, Semestre Primavera 2000 Tarea # 4 Fecha de Entrega: Jueves 14 de Septiembre, 2000

Problema 16:

Si Ces el círculo |z| = 1, calcule

∫_{C} \frac{dz}{z} ,  ∫_{C} \frac{dz}{|z|}  ∫_{C} \frac{|dz|}{z},  ∫_{C} \frac{dz}{z^{2}} ,  ∫_{C} \frac{dz}{|z^{2}|}  ∫_{C} \frac{|dz|}{z^{2}}.

Problema 17:

Si C es el círculo |z| = 1, demuestre, utilizando el Teorema

| ∫_{C} f(z) dz | ≤ M · L

visto en clases, que

| ∫_{C} \frac{dz}{4 + 3z} | ≤ 2π  and  | ∫_{C} \frac{dz}{4 + 3z} | ≤ \frac{6}{5}π.

Nota: En el segundo caso considere en forma separada las partes de C con x > 0 y x < 0.

Problema 18:

a) Si 0 < r < R, integre la función

\frac{R + z}{(R − z)z} ≡ \frac{1}{z} + \frac{2}{R − z}

sobre el círculo |z| = r y deduzca que

\frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π} \frac{R^{2} − r^{2}}{R^{2} − 2Rr cos θ + r^{2}} dθ = 1.

b) Integrando 1/(R − z) sobre el círculo |z| = r demuestre que,

\frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π} \frac{R cos θ}{R^{2} − 2Rr cos θ + r^{2}} dθ = \frac{r}{R^{2} − r^{2}} , 0 ≤ r < R.

Problema 19: Demuestre que si a es real, la integral

I(a) = ∫_{−∞}^{∞} e^{−(x+ia)^{2}} dx

no depende de a. Nota: Sin pérdida de generalidad suponga que a > 0. Como e^{−z^{2}} es una función entera,

∫_{C} e^{−z^{2}} dz = 0

en que C es el rectángulo con vértices en −b, b, b + ia y −b + ia. Luego utilice

| ∫_{0}^{a} e^{−(b+iy)^{2}} dy | ≤ e^{−b^{2}} ∫_{0}^{a} e^{y^{2}} dy,

(¿por qué?), y haga b → ∞ para demostrar que I(a) = I(0).

Problema 20: Teorema Fundamental del Algebra: Primera Demostración.

Si P (z) es un polinomio no constante, muestre que P (z) tiene al menos una raíz. Nota: Defina el polinomio Q(z) por medio de

P (z) ≡ a_{n}z^{n} + … a_{1}z + a_{0} = zQ(z) + a_{0},

en que n ≥ 1 a_{n} ≠ 0. Entonces,

\frac{1}{z} = \frac{P (z)}{zP (z)} = \frac{Q(z)}{P (z)} + \frac{a_{0}}{zP (z)}.

Si P (z) no se anulara, la integral del primer término en un contorno cerrado sería cero (¿ por qué?), de modo que

2πi = ∫_{|z|=R} \frac{a_{0}}{zP (z)} dz.

Si |z| = R → ∞, lim P (z)/a_{n}z^{n} = 1 de modo que para R grande |P (z)| ≥ |a_{n}||z|^{n}/2. A partir de este hecho y de la integral anterior, encuentre una contradicción en el límite R → ∞.

Referencias:

1. Norman Levinson y Raymond M. Redheffer, Complex Variables, Holden Day, Inc., San Francisco, 1970; Capítulo 3. (Disponible en Biblioteca de Matemáticas: 515.93, L655c).