Facultad de Física, P. Universidad Católica de Chile FIZ–2510: Métodos Matemáticos de la Física I Curso: R. Benguria, Semestre Primavera 2000 Tarea # 5 Fecha de Entrega: Jueves 21 de Septiembre, 2000

Problema 21:

Sea C el contorno cerrado que encierra al semi–disco |z| ≤ R, ℑ z ≥ 0, una vez, en el sentido contrario a los punteros del reloj, en que R > 1. Utilice la formula integral de Cauchy para evaluar ∮_{C} dz/(1 + z^{2}), y parametrizando adecuadamente el contorno demuestre que

∫_{0}^{π/2} \frac{R^{3} − R}{1 + R^{4} + 2R^{2} cos 2θ} senθ dθ = \frac{π}{2} − arctan R.

¿ Es válida la identidad anterior en los límites R = ∞ o R = 1?; explique. Problema 22: Sea C un contorno que bordea la elipse (x/a)^{2} + (y/b)^{2} = 1 una vez en el sentido contrario a los punteros del reloj (a, b son reales positivos y z = x + iy. Parametrice la elipse y evalue ∮ dz/z con el objeto de derivar la identidad

∫_{0}^{2π} \frac{dθ}{a^{2} cos^{2} θ + b^{2}sen^{2}θ} = \frac{2π}{ab} .

Problema 23:

Considere la función entera f(z) que satisface |f(z)| ≤ Rϵ(R) para |z| = R grande, donde lim ϵ(R) = 0 cuando R → ∞. Demuestre que f(z) es una constante. Problema 24: Si f(z) es una función entera tal que ℜf(z) ≤ M, para todo z, donde M es una constante, demuestre que f(z) es una constante. Indicación: Aplique el teorema de Liouville a la funcion exp f(z). Problema 25:

Evalúe ∮ z^{α} dz una vez alrededor del círculo unitario, donde α es cualquier número complejo (considere todos los casos). Cuando sea necesario, elija un corte para la función z^{α} que intersecte al círculo unitario solo una vez. ¿ Depende la integral de la elección del corte?

Referencias:

1. Norman Levinson y Raymond M. Redheffer, Complex Variables, Holden Day, Inc., San Francisco, 1970; Capítulo 3. (Disponible en Biblioteca de Matemáticas: 515.93, L655c).

2. Una buena referencia sobre Superficies de Riemann se encuentra en la página Web del curso de variable compleja de Bazant y Rosales, del MIT: http://www-math.mit.edu/18.04/