Facultad de Física, P. Universidad Católica de Chile FIZ–2510: Métodos Matemáticos de la Física I Curso: R. Benguria, Semestre Primavera 2000 Tarea # 6 Fecha de Entrega: Jueves 28 de Septiembre, 2000

Problema 26: Los polinomios de Laguerre L_{n}(z) están dados por

L_{n}(z) = e^{z} \frac{d^{n}}{dz^{n}} (z^{n}e^{−z}).

Muestre que, para todo z en el interior de un contorno simple C,

L_{n}(z) = \frac{n!}{2πi} ∫_{C} \frac{w^{n}e^{−(w−z)}}{(w − z)^{n+1}} dw.

Problema 27: Obtenga la fórmula de Wallis

∫_{0}^{π/2} cos^{2n} θ dθ = \frac{(2n)!}{(2^{n}n!)^{2}} \frac{π}{2} .

al integrar f(z) = (z + (1/z))^{2n}/z sobre |z| = 1. Problema 28: En los casos siguientes, desarrolle las funciones dadas en una serie de Taylor alrededor de z_{0}. Indique el máximo disco donde sea válida esta representación: f(z) = \frac{1}{1−z}, z_{0} = −1. f(z) = \frac{1}{1−z}, z_{0} = i. f(z) = \frac{1}{z}, z_{0} = +1. f(z) = cos z, z_{0} = π/2. f(z) = log z, z_{0} = 2e^{3πi}. Problema 29: Demuestre que si dos funciones analíticas en un dominio D coinciden en un subconjunto de D, que tiene un punto de acumulación de D, entonces coinciden en todos los puntos de D. Problema 30: Determine si existe una función analítica en |z| < 2 que tome, en los puntos z = 1/n, n = 1, 2, 3, … los valores dados en los ejercicios siguientes:

a) 0, 1, 0, −1, 0, 1, 0, −1, … b) 1, 0, 1/3, 0, 1/5, 0, 1/7, 0, 1/9, …

c) 1, 2/3, 3/5, 4/7, 5/9, 6/11, 7/13, 8/15, …

Referencias:

1. William R. Derrick, Variable Compleja con Aplicaciones, Grupo Editorial Iberoamericana, México, DF, 1987 (traducción al castellano de la obra original Complex Analysis and Applications, second edition, Wadsworth, Inc., Belmont, 1984), Capítulos 2 y 3.