Facultad de Física, P. Universidad Católica de Chile FIZ–2510: Métodos Matemáticos de la Física I Curso: R. Benguria, Semestre Primavera 2000 Tarea # 8 Fecha de Entrega: Jueves 12 de Octubre, 2000

Problema 37:

Evalúe las tres integrales siguientes:

∫_{−∞}^{∞} \frac{x^{2} dx}{(1 + x^{2})^{2}} ,

∫_{0}^{∞} \frac{x^{α−1}}{1 + x} dx, 0 < α < 1,

∫_{0}^{2π} \frac{sen^{2}x dx}{5 + 3 cos x}.

Problema 38:

Suponga que f es una función racional de la forma P/Q en que el grado de Q es a lo menos 2 mas que el grado de P. Demuestre que la suma de los residuos de f es cero.

Problema 39:

a) Muestre que ∫_{C_{R}} e^{iz^{2}} dz → 0 si R → ∞, en que C_{R} es el arco de círculo z = Re^{iθ} con 0 ≤ θ ≤ π/4.

b) Evalúe las integrales ∫_{0}^{∞} cos x^{2} dx y ∫_{0}^{∞} senx^{2} dx. Nota: la convergencia de ambas integrales se puede demostrar por ejemplo haciendo la substitución u = x^{2} y aplicando el Test de Dirichlet. Aquí no se pide que lo verifique.

Problema 40:

Calcule

∫_{0}^{∞} \frac{sen^{2}x}{x^{2}} dx.

Indicación: Integre la función (e^{2iz} − 1 − 2i z)/z^{2} alrededor de un semicírculo grande apropiado.

Problema 41: Calcule, usando el segundo método visto en clases, la integral

∫_{0}^{∞} \frac{dx}{1 + x^{n}} .