Facultad de Física, P. Universidad Católica de Chile FIZ–2510: Métodos Matemáticos de la Física I Curso: R. Benguria, Semestre Primavera 2000 I # 3 Jueves 16 de Noviembre, 2000 Tiempo: 1 h. 40 m.

Problema 1: Utilice el Teorema de los Residuos y el Valor Principal de Cauchy para demostrar que

∫_{−∞}^{∞} \frac{cos πx}{(4x^{2} − 1)} dx = −\frac{π}{2} .

Indicación: Conviene evaluar primero

VP ∫_{−∞}^{∞} \frac{e^{iπx}}{(4x^{2} − 1)} dx = −\frac{π}{2} .

Problema 2: Encuentre el número de raíces de la ecuación

11z^{4} − 20z^{3} + 6z^{2} + 20z − 1 = 0,

que están en el semiplano derecho. Indicación: Utilice la transformación conforme z = (1 + w)/(1 − w) para mapear el semiplano derecho en el interior del círculo unitario. Luego utilice el Teorema de Rouche.

Problema 3: Encuentre un mapeo conforme que lleve al conjunto

A ≡ {z ∈ ℂ | |z| < 1, ℜ(z) > 0}

sobre el conjunto

B ≡ {z ∈ ℂ | |z| < 1}

Indicación: Lleve primero al conjunto A al primer cuadrante, luego lleve el primer cuadrante al semiplano superior y finalmente el semiplano superior al conjunto B.